投票と確率の話（大阪市住民投票の結果を例に）

非常に簡単な仮定のもとでの計算なので、正当性は全く保証できません。

お遊び程度におつきあいください。

＜二項分布＞
確率変数 $X$ が $X=1,2,\cdots,n$ の値をとるとき

$P(X=k)=\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

となる。ただし $0\leq p\leq 1$ 。

このとき $X$ は二項分布 $B(n,p)$ に従うという。

例えば、投票による採決などの場面で二項分布を考えることができます。

それぞれの投票者が確率 $p$ で賛成票を投じ、確率 $1-p$ で反対票を投じるという仮定をおけば

$n$ 人の全投票者の内で賛成票を投じた人数 $X$ は二項分布 $B(n,p)$ に従います。

（無効票は考えていません。投票者とは有効な投票をした人と定義しておきます）

さて、これを先日の大阪市住民投票の結果に当てはめてみましょう。

投票結果として以下を用います。

＜平成27年5月17日執行大阪市における特別区の設置についての投票の開票結果＞

投票者数： $1400429$
賛成者数： $694844$
反対者数： $705585$

賛成者数と反対者数の差は $10741$ 人で、約 $10000$ 票程反対者数のほうが多いです。

それでは二項分布のモデルで考えた場合、賛成者数と反対者数の差が $10000$ 人以内となる確率はどれくらいになるので
しょうか？

以下のような仮定をして考えてみます。

この住民投票における賛成票数 $X$ を確率変数と考えるとき、

$X$ が $B(1400429,0.5)$ に従うと考えます。

つまり、各投票者が賛成に投じるか反対に投じるかは独立な確率 $\frac{1}{2}$ で決まるという仮定を置きます。

（かなり雑な仮定です）

$B(n,p)$ において $10000$ 人いないとなる確率は全投票者数の半分より、5000票以内の範囲で賛成者数のほ
多くなるまたは少なくなる確率です。

つまり

$P(\frac{1400429}{2}-5000\leq X\leq \frac{1400429}{2}+5000)$ を求めることになります。

ところがこれは結構大変な計算です。

端をガウス記号を使って書き表してやるとすると、

$B(1400429,0.5)$ の条件から、 $i\leq X\leq j$ となる確率は

$\displaystyle\sum_{k=\left[ \frac{1400429}{2}-5000 \right]}^{\left[ \frac{1400429}{2}+5000\right]}\binom{1400429}{k}0.5^k(1-0.5)^{n-k}$

となり、膨大な数の二項係数の和を計算しないといけません。

そこで正面から計算するのはやめて、次の性質を利用して考えていきたいと思います。

$n$ が非常に大きいとき

二項分布 $B(n,p)$ は正規分布 $N(\mu,{\sigma}^2)$ で近似できて、

$np\cong\mu,np(1-p)\cong\sigma^2$

が成立する。

正規分布 $N(\mu,{\sigma}^2)$ とは $x$ を確率変数とするとき、確率密度関数 $f(x)$ が

$f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma}^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2{\sigma}^2}\right)$

となるような確率分布のことです。

投票者数が $n$ が非常に大きいと考えると、この近似を使うことができて

$\mu=1400429*0.5=700214.5,\sigma=\sqrt{14500*0.5*(1-0.5)}=591.6986$

というように求めることができます。

正規分布における確率を計算するには、確率密度関数を積分すればいいので

$\displaystyle\int^{\frac{n}{2}+5000}_{\frac{n}{2}-5000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma}^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2{\sigma}^2}\right)dx$

に $n,\mu,\sigma$ を代入して計算すると、

$\displaystyle\int^{\frac{n}{2}+5000}_{\frac{n}{2}-5000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma}^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2{\sigma}^2}\right)dx\\ \\ \\ =0.99999999999999997$

（正規分布の確率計算をしてくれるサイトhttp://keisan.casio.jp/exec/system/1402634507を利用しました）

となり、このモデルにおいては $10000$ 票以内に票差が収まるのは全く起こってもおかしくないことといえます。

同じようにして、 $1000$ 票以内に票差が収まる確率を求めると、

$\displaystyle\int^{\frac{n}{2}+500}_{\frac{n}{2}-500}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma}^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2{\sigma}^2}\right)dx\\ \\ \\ =0.60190301578688123$

となりそこまで高い確率ではないですが、

票差が $2000$ 票以内に収まる確率は

$\displaystyle\int^{\frac{n}{2}+1000}_{\frac{n}{2}-1000}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma}^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2{\sigma}^2}\right)dx\\ \\ \\ =0.90898153985181337$

となり、結構高い確率です。

以上の話から意見が拮抗しているときには、票決をとると一方が僅差で勝つということはよく起こるといえそうです。

2015年5月10日2015年5月10日 maeatsu

gnuplotは楽しい。

gnuplotは楽しい。それだけです。

課題で媒介変数表示で表されたグラフの概形を描くようなものがあったんですが、さっぱりわからなくて、ついつい描画ソフトに頼ってしまいました。

gnuplotでググってインストールして起動すれば、

すぐに使うことができます。

使い方なんかはこれまたググると親切なサイトがたくさん出てくるのでとても参考になります。

今回出された問題はこれです。

$\begin{cases} x_1=(a+u\cos (\frac{v}{2}))\cos(v) \\ x_2=(a+u\cos (\frac{v}{2}))\sin(v) \\ x_3=u\sin(\frac{v}{2})&(a>0,-1\leq u\leq 1,0\leq v\leq 2\pi) \end{cases}$

のグラフの概形を描け。

全く分からなかったのでgnuplotに描かせたところ、このようになりました。

https://drive.google.com/file/d/0BwevNvX3ByPAZ3VvYTZTbkprR3c/view?usp=sharing

メビウスの輪ですね。

このときちょうど講義では曲面の裏表の話をしていたので、向き付け不可能な曲面があらわれたのはなんだかおもしろいです。

これを見てから、後出し的に概形の描き方がわかりました。（ずるい）

2015年5月6日2015年5月6日 maeatsu

行列による線形変換がリプシッツ条件を満たすことの証明（備忘録）(この後使う用）

めっちゃかんたんだけど、忘れんうちに書いておこうと思います。

リプシッツ条件とは次のような条件のことです。

＜n変数関数のリプシッツ条件＞

$n$ 変数実関数 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ に対して

$\forall {\bf x},{\bf y}\in\mathbb{R}^n$ で

$\|f({\bf x}-{\bf y})\|\le L\|{\bf x}-{\bf y}\|$

となる $L$ が存在する。

ただし、ベクトル ${\bf x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^{n}$

のノルム　 $\|{\bf x}\|$ を

$\|{\bf x}\|=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2}$

で定めます。

行列の線形変換がリプシッツ条件を満たしていることをいうには次を示すことになります。

行列 $A=\{ a_{ij}\}$ に対して、

$\|A({\bf x}-{\bf y})\|\le L\|{\bf x}-{\bf y}\|(\forall {\bf x},{\bf y}\in\mathbb{R}^n)$

を満たす $L$ が存在する。

＜証明＞
$\|A{\bf x}\|\le L\|{\bf x}\|$

を満たす $L$ が存在することを示せば十分である。

${\bf x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^{n}$ とおけば

$\|A{\bf x}\|\\ \\ \\ =\sqrt{ \left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_j\right)^2+ \left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{2j}x_j\right)^2+\cdots+\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{nj}x_j\right)^2 }\\ \\ \\ \le\sqrt{ \left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{a_{1j}}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{x_j}^2\right)+\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{a_{2j}}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{x_j}^2\right)+\cdots+\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{a_{nj}}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{x_j}^2\right) }\\$
(各々の $\sum$ の項に対してシュワルツの不等式を用いました）

$=\sqrt{\left( \displaystyle\sum_{1\le i,j\le n}^{}{a_{ij}}^2 \right)\left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}{x_{j}}^2 \right)}\\ =\sqrt{\left( \displaystyle\sum_{1\le i,j\le n}^{}{a_{ij}}^2 \right)}\|{\bf x}\|$

したがって

$L=\sqrt{\left( \displaystyle\sum_{1\le i,j\le n}^{}{a_{ij}}^2 \right)}$

とすれば、成り立つことが示せました。

よって

行列による線形変換はリプシッツ条件を満たします。

2015年5月3日2015年5月3日 maeatsu

開いた系の熱力学第1法則ー熱力学備忘録

今受けている講義を元に僕が個人的にまとめた備忘録です。

よくわかってないところを整理する目的で書いているので、たくさん間違うと思います。

あやまりなどがあればどうぞご指摘ください。

はじめに、これから式を導出していくうえで必要となりそうな法則をいくつか認めておきます。

「熱力学第0法則」
系に対して、熱力学的平衡を実現するような状態が存在する。
熱力学的な平衡状態とは、熱平衡、力学平衡、相平衡、化学平衡が実現されている状態である。

「熱力学第1法則」
系がある状態1から状態2へ変化するとき、系の持っているエネルギーをそれぞれ $E_1$ 、 $E_2$ とし、
系が得た熱を $Q_{12}$ 、系のする仕事を $L_{12}$ とすると、
次のような式が成立する。

${\bf E_2-E_1=Q_{12}-L_{12}}\cdots(1)$

熱力学第1法則はエネルギー保存則を熱力学的に記述したものです。

以下の議論では上記2つを認めたものとして進めていきます。

開いた系とは系の流体（作動流体）が密閉されておらず、流れているような系のことです。

さて、開いた系の例として次のような装置 ${\bf M}$ を考えます。

${\bf M}$ は吸入弁と排出弁とピストンを持っており、それぞれの弁の高さは $z_1,z_2$ とします。

内部の体積を $V$ 、圧力を $P$ とします。

また、 ${\bf M}$ のもつエネルギーを $E_t$ とします。

${\bf M}$ において次のような過程を考えます。

これらは本来同時に起こっていますが、このように過程に分けて考えるほうがわかりやすいのでそのように考えることにします。

はじめは、吸入弁、排出弁ともに閉じているとします。

また、各過程においては熱力学的平衡状態が保たれているものとします。

「装置 ${\bf M}$ における操作過程」

過程1：吸入弁を開き、単位時間当たり圧力 $p_1$ 、体積 $v_1$ 、速さ $w_1$ 、質量 $m_1$ の作動流体を外部から入れる。その後、吸入弁を閉じる。

過程2：熱 $Q_{12}$ を吸収させ、ピストンに仕事 $L_{12}$ をさせる。

過程3：排出弁を開き、単位時間当たり圧力 $p_2$ 、体積 $v_2$ 、速さ $w_2$ 、質量 $m_2$ の作動流体を外部へ出す。その後、排出弁を閉じる。

過程1、過程3があるのが閉じた系との違いです。これが時間的な作動流体の流入と流出を表しています。

装置の模式図を示しておきます。

さて、ここで系のエネルギー $E_t$ をについて考察しておきます。

装置 ${\bf M}$ に単位時間当たり圧力 $p$ 、体積 $v$ 、速度 $w$ 、質量 $m$ の作動流体が高さ $z$ から

流入してくるとします。（流出する場合は速度 $w<0$ です）

このとき $E_t$ は、装置内部の作動流体そのものの持つエネルギーを $U$ として、重力加速度を $g$ とすると、

装置内の作動流体が受ける仕事、流入する作動流体の運動エネルギーと位置エネルギーを考慮して、

$E_t=U+pv+\frac{mw^2}{2}+mgz\cdots(2)$

と表せます。

ここで、作動流体の運動エネルギーと位置エネルギーの項\frac{mw^2}{2}+mgzは、装置がとてつもなく大きくない限り、他の項に対

して非常に小さくなるので、無視することができます。

これは実際に例を作って計算して比べて見ればわかります。例えば0度の水を100度にするために必要なエネルギーで、

高度一万メートル以上の高さにその水を持ち上げることができます。装置はそんなに大きくはありません。

よって、 $H=U+pv$ と置くことによって、

$E_{t1}=H_1=U_1+p_1v_1,E_{t2}=H_2=U_2+p_2(-v_2)$

とすることができます。 $U_1,U_2$ は過程1、3における作動流体の内部エネルギ―です。

このように定めた $H$ をエンタルピーといいます。

さて過程1、過程3における ${\bf M}$ のエネルギーをそれぞれ $E_{t1},E_{t2}$ とすると、

熱力学第1法則より

$E_{t2}-E_{t1}=Q_{12}-L_{12}\cdots(2)^{\prime}$

が成り立ちます。

エンタルピーを用いて書き換えると

$H_2-H_1=Q_{12}-L_{12}\cdots(2)$

が成立します。

さて系が行う仕事としてすべてを捉えた場合、ピストンのする仕事 $L_{12}$ に加えて、

流出入に際して仕事 $p_2v_2-p_1v_1$ を系は外部に行っているといえます。

したがって、外部にした正味の仕事を $L_{a}$ とすれば、 $L_{a}=\int_{1}^{2}pdV$ （定義式）から、

$L_{a}=\int_{1}^{2}pdV=L_{12}+(p_2v_2-p_1v_1)\cdots(3)$

とできて、これは $p-V$ グラフにおける面積を考えることによって

$L_{12}=\int_{1}^{2}pdV-p_2v_2+p_1v_1\\ =\int_{1}^{2}Vdp=Q_{12}-(H_2-H_1)\cdots(4)$

がいえます。

開いた系において、系が外部にした仕事を考える場合には、内部エネルギー $U$ に加えて、

閉じた系における仕事 $\int_{1}^{2}pdV$ (絶対仕事）ではなく、

$\int_{1}^{2}Vdp$ (工業仕事）を考えたほうが都合がよいです。

もちろん工業仕事は本来の仕事の定義とは外れていますので、便宜的にそのような名前がついているだけです。

絶対仕事 $L_{a}$ 、工業仕事 $L_{12}$ を用いると

閉じた系、開いた系において熱力学第一法則をそれぞれ次のように記述することができます。

系が状態1から状態2に変化するとき

[閉じた系に対する熱力学第1法則] : ${\bf U_2-U_1=Q_{12}-L_{a}}$

[開いた系に対する熱力学第1法則] : ${\bf H_2-H_1=Q_{12}-L_{12}}$

2015年5月1日 maeatsu

風景画と聖地めぐり

　僕は風景画が好きです。

理由は二つあります。

ひとつは風景画を見ることによって、ここからは遠くてとてもいけないような世界の光景を間接的に見ることができるからです。

世界中のいろいろな人達が描いた絵を集めたような画集はとても好きです。

しかし、もし世界中の風景が見たいなら、写真のほうがより正確に見ることができるし、

インターネットで検索すれば、世界中の名所の動画を見ることができるじゃないかという人がいるかもしれません。

確かにそうです。僕は風景の写真や動画を見るのも同じく好きです。

ただ、風景画が好きなのにはもう一つの理由があります。

それは風景画にはその絵を描いた人の視点から見た風景というものが直に反映されるからです。

風景の解釈といってもいいかもしれません。

空の色一つとっても、どのような青で描くか、そもそも青を使うのかなど人によって様々です。

なじみのある地域の風景画や、自分の行ったことがある場所の風景画などをみるとこれがとてもよくわかります。

同じ世界に生きて、同じ風景をみていたはずなのに描く世界はこうも違い、その場所の色はその人にはこのように見えているのか

と、あるいはこのように描こうとしたのかということを感じることができてとても面白いです。

　では逆に、誰かの描いた風景画をみて、その場所に実際に行ってみるという行為はどうでしょうか？

例えば、聖地めぐりという活動があります。

アニメ・映画・ドラマ・小説など、その作品の舞台となった地を訪れる活動のことです。

その作品の舞台、背景となった場所へ行くことは、その作品をより深く楽しむという意味だけでなく、

人によるものの見え方の違い、解釈の違いを浮き彫りにしてくれるでしょう。

元となった風景をみて、作者が加えた加工やデフォルメに気づくでしょう。

また、それと同時に作者がその風景を見て、なにを描こうとしたか、作品と実際の風景はどこが共通しているのか

ということを考えることができるでしょう。

そのように、現実を下敷きにして作り出した作品がリアリティを持つのではないかと、僕は考えています。

どこかで現実とつながっているけれども、やはり現実そのもを映し出しているわけではない。

風景画はそこが面白く、素晴らしいと思います。

Notation {maeatsu}

大学生活、IT、数学についてつらつら書いてます

月別アーカイブ: 2015年5月