行列による線形変換がリプシッツ条件を満たすことの証明（備忘録）(この後使う用）

めっちゃかんたんだけど、忘れんうちに書いておこうと思います。

リプシッツ条件とは次のような条件のことです。

＜n変数関数のリプシッツ条件＞

$n$ 変数実関数 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ に対して

$\forall {\bf x},{\bf y}\in\mathbb{R}^n$ で

$\|f({\bf x}-{\bf y})\|\le L\|{\bf x}-{\bf y}\|$

となる $L$ が存在する。

ただし、ベクトル ${\bf x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^{n}$

のノルム　 $\|{\bf x}\|$ を

$\|{\bf x}\|=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2}$

で定めます。

行列の線形変換がリプシッツ条件を満たしていることをいうには次を示すことになります。

行列 $A=\{ a_{ij}\}$ に対して、

$\|A({\bf x}-{\bf y})\|\le L\|{\bf x}-{\bf y}\|(\forall {\bf x},{\bf y}\in\mathbb{R}^n)$

を満たす $L$ が存在する。

＜証明＞
$\|A{\bf x}\|\le L\|{\bf x}\|$

を満たす $L$ が存在することを示せば十分である。

${\bf x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^{n}$ とおけば

$\|A{\bf x}\|\\ \\ \\ =\sqrt{ \left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_j\right)^2+ \left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{2j}x_j\right)^2+\cdots+\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{nj}x_j\right)^2 }\\ \\ \\ \le\sqrt{ \left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{a_{1j}}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{x_j}^2\right)+\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{a_{2j}}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{x_j}^2\right)+\cdots+\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{a_{nj}}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{x_j}^2\right) }\\$
(各々の $\sum$ の項に対してシュワルツの不等式を用いました）

$=\sqrt{\left( \displaystyle\sum_{1\le i,j\le n}^{}{a_{ij}}^2 \right)\left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}{x_{j}}^2 \right)}\\ =\sqrt{\left( \displaystyle\sum_{1\le i,j\le n}^{}{a_{ij}}^2 \right)}\|{\bf x}\|$

したがって

$L=\sqrt{\left( \displaystyle\sum_{1\le i,j\le n}^{}{a_{ij}}^2 \right)}$

とすれば、成り立つことが示せました。

よって

行列による線形変換はリプシッツ条件を満たします。

Notation {maeatsu}

大学生活、IT、数学についてつらつら書いてます

行列による線形変換がリプシッツ条件を満たすことの証明（備忘録）(この後使う用）

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